Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда. Площадь боковой поверхности параллелепипеда прямого


Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда :: SYL.ru

Параллелепипед - самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

  • Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны.
  • Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части.
  • Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам.
  • Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой - сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Sбок = Рос * н

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

S = Sбок + 2 * Sос

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Sбок= 2 * с * (а + в)

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

Sбок = 4 * а2

А из-за того, что его основания - такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

S = 6 * а2

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани - это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Sбок = (S1 + S2) * 2,

S = (S1 + S2 + S3) * 2

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 - основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм2.

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см2.

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а2 = 72 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см2).

Ответ. S = 294 см2.

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм2.

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

S = 2 * (а2 + 2ас).

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

  • разделить все неравенство на 2;
  • потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа - деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»;
  • затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

с = (S/2 - а2) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см2. Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см3.

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное - «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

12 * в = 60.

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота - нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма - это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они - прямоугольники. Поэтому их площади - это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см2.

Ответ. S = 188 см2.

www.syl.ru

Площадь параллелепипеда. Формулы и задачи

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

площадь поверхности параллелепипеда формула

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Площадь параллелепипеда, где a, b и c – это измерения геометрического тела.Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

задача

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Задача на нахождение площади поверхности куба

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

диагональ через площадь

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

Параллелепипед — объемная фигура, одна из разновидностей призм, в основании которой лежит четырехугольник — параллелограмм, а все остальные грани также образованы данным видом четырехугольников. Площадь боковой поверхности параллелепипеда обнаружить дюже легко.

Инструкция

1. Стоит для начала разобраться, что из себя представляет боковая поверхность параллелепипеда. Она представляет из себя сумму площадей четырех параллелограммов, находящихся по бокам данной объемной фигуры. Площадь всякого параллелограмма находится по формуле:S = a*h, где a — одна из сторон данного параллелограмма, h — высота, проведенная к этой стороне.Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника.Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

2. В том случае, если дан прямой параллелепипед, у которого знамениты периметр основания P, высота его h, то обнаружить площадь его боковой поверхности дозволено обнаружить так:S = P*h.Если дан прямоугольный параллелепипед (у которого все грани — прямоугольники), у которого вестимы длины сторон основания (a и b), a c — его боковое ребро, то боковая поверхность этого параллелепипеда вычисляется по такой формуле:S = 2*c*(a+b).

3. Для большей ясности дозволено разглядеть примеры:Пример 1. Дан прямой параллелепипед с периметром основания 24 см, высотой 8 см. Исходя из этих данных площадь боковой поверхности его будет вычисляться так:S = 24*8 = 192 см?Пример 2. Пускай в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, дозволено вычислить и боковую поверхность:S = 2*9*(4+9) = 234 см?

Параллелепипед – фигуры объемная, характеризующаяся наличием граней и ребер. Вся боковая грань образуется двумя параллельными боковыми ребрами и соответствующими друг другу сторонами обоих оснований. Дабы обнаружить боковую поверхность параллелепипеда , надобно сложить площади всех его вертикальных либо наклонных параллелограммов.

Инструкция

1. Параллелепипед – пространственная геометрическая фигура, имеющая три измерения: длину, высоту и ширину. В связи с этим он имеет две горизонтальные грани, называемые основаниями, а также четыре боковые. Все они имеют форму параллелограмма, но бывают и частные случаи, которые упрощают не только графическое изображение задачи, но и сами расчеты.

2. Основными числовыми колляциями параллелепипеда являются площадь поверхности и объем. Различают полную и боковую поверхность фигуры, которые получаются суммированием площадей соответствующих граней, в первом случае – всех шести, во втором – только боковых.

3. Дабы обнаружить боковую поверхность параллелепипеда , сложите площади четырех граней. Исходя из свойства фигуры, согласно которому противолежащие грани параллельны и равны, запишите:S = 2•Sб1 + 2•Sб2.

4. Разглядите для начала всеобщий случай, когда фигура наклонная: основания лежат в параллельных плоскостях, но смещены касательно друг друга:Sб1 = a•h; Sб2 = b•h, где а и b – основания всего бокового параллелограмма, h – высота параллелепипеда .S = (2•a + 2•b)•h.

5. Посмотрите наблюдательно на выражение, стоящее в скобках. Величины a и b дозволено представить не только, как основания боковых ребер, но и как стороны основания параллелепипеда , тогда это выражение есть не что иное, как его периметр:S = P•h.

6. Наклонный параллелепипед превращается в прямой, если угол между основанием и боковым ребром становится прямым. Тогда высота параллелепипеда равна длине боковой грани:S = P•с.

7. Прямоугольный параллелепипед – знаменитая форма исполнения многих конструкции: домов, предметов мебели, коробок, моделей бытовой техники и пр. Это связано с простотой их возведения/создания, от того что все углы составляют 90°. Боковая поверхность такой фигуры аналогична такой же числовой характеристике прямого, отличие между ними проявляется только при расчете полной поверхности.

8. Куб – параллелепипед, у которого все измерения равны:S = 4•Sб = 4•a?.

Видео по теме

jprosto.ru

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. На стороне АВ взята точка К так, что прямая ОК перпендикулярна АВ и АК=2 см, ВК=8 см. Найдите диагонали ромба. Решение. При решении задачи использовали следующие утверждения: диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся.

Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда

Параллелепипед — самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

    Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны. Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части. Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам. Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой — сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

А из-за того, что его основания — такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани — это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 — основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а 2 = 7 2 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см 2 ).

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

    разделить все неравенство на 2; потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа — деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»; затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

С = (S/2 — а 2 ) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное — «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота — нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма — это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они — прямоугольники. Поэтому их площади — это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда формула

poiskvstavropole.ru

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда

Задача 1. Точка Н является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC.

Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда

Параллелепипед — самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

    Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны. Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части. Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам. Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой — сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

А из-за того, что его основания — такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани — это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 — основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а 2 = 7 2 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см 2 ).

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

    разделить все неравенство на 2; потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа — деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»; затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

С = (S/2 — а 2 ) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное — «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота — нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма — это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они — прямоугольники. Поэтому их площади — это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда

Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

    Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

S = 2*9*(4+9) = 234 см²

    площадь поверхности параллелепипеда

Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда

Все тонкости того, как вычислить площадь параллелепипеда

Параллелепипед — самая распространенная фигура из тех, что окружают людей. Большинство помещений представляют собой именно его. Особенно важно знать площадь параллелепипеда, хотя бы его боковых граней, во время ремонта. Ведь нужно точно знать, сколько материала приобрести.

Что он собой представляет?

Это призма с четырехугольным основанием. Поэтому у нее четыре боковых грани, которые являются параллелограммами. То есть такое тело имеет всего 6 граней.

Для определения параллелепипеда в пространстве у него определяют площадь и объем. Первая может быть как отдельно для каждой грани, так и для всей поверхности. К тому же выделяют еще и площадь только боковых граней.

Какие существуют виды параллелепипедов?

Наклонный. Такой, у которого боковые грани образуют с основанием угол, отличный от 90 градусов. У него верхний и нижний четырехугольники не лежат друг напротив друга, а сдвинуты.

Прямой. Параллелепипед, боковые грани которого являются прямоугольниками, а в основании лежит фигура с произвольными величинами углов.

Прямоугольный. Частный случай предыдущего вида: в его основании находится прямоугольник.

Куб. Особый тип прямого параллелепипеда, в котором все грани представлены квадратами.

Некоторые математические особенности параллелепипеда

Может возникнуть ситуация, когда они окажутся полезными в том, чтобы найти площадь параллелепипеда.

    Грани, которые лежат напротив друг друга, не только параллельны, но и равны. Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся на равные части. Более общий случай, если отрезок соединяет две точки на поверхности тела и проходит через точку пересечения диагоналей, то он делится этой точкой пополам. Для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство, в котором в одной его части стоит квадрат диагонали, а в другой — сумма квадратов его высоты, ширины и длины.

Площади прямого параллелепипеда

Если обозначить высоту тела как «н», а периметр основания буквой Рос, то вся боковая поверхность может быть вычислена по формуле:

Используя эту формулу и определив площадь основания, можно сосчитать полную площадь:

В последней записи Sос., то есть площадь основания параллелепипеда, может быть вычислена по формуле для параллелограмма. Другими словами, потребуется выражение, в котором нужно перемножить сторону и высоту, опущенную на нее.

Площади прямоугольного параллелепипеда

Принято стандартное обозначение длины, ширины и высоты такого тела буквами «а», «в» и «с» соответственно. Площадь боковой поверхности будет выражаться формулой:

Чтобы вычислить полную площадь прямоугольного параллелепипеда, потребуется такое выражение:

S = 2 * (ав + вс + ас)

Если окажется необходимым узнать площадь его основания, то достаточно вспомнить, что это прямоугольник, а значит, достаточно перемножить «а» и «в».

Площади куба

Его боковая поверхность образована четырьмя квадратами. Значит, чтобы ее найти, потребуется воспользоваться известной для квадрата формулой и умножить ее на четыре.

А из-за того, что его основания — такие же квадраты, полная площадь определится по формуле:

Площади наклонного параллелепипеда

Поскольку его грани — это параллелограммы, то нужно узнать площадь каждого из них и потом сложить. К счастью, противолежащие равны. Поэтому вычислять площади нужно только три раза, а потом умножить их на два. Если записать это в виде формулы, то получится следующее:

Здесь S1 и S2 являются площадями двух боковых граней, а S3 — основания.

Задачи по теме

Задание первое. Условие. Необходимо узнать длину диагонали куба, если площадь всей его поверхности равна 200 мм 2 .

Решение. Начать нужно с получения выражения для искомой величины. Ее квадрат равен трем квадратам стороны куба. Это значит, что диагональ равна «а», умноженной на корень из 3.

Но сторона куба неизвестна. Здесь потребуется воспользоваться тем, что известна площадь всей поверхности. Из формулы получается, что «а» равно квадратному корню из частного S и 6.

Осталось только сосчитать. Ребро куба оказывается равным √ (200/6), что равно 10/ √3 (мм). Тогда диагональ получится равной (10/ √3) * √3 = 10 (мм).

Ответ. Диагональ куба равна 10 мм.

Задание второе. Условие. Необходимо вычислить площадь поверхности куба, если известно, что его объем равен 343 см 2 .

Решение. Потребуется воспользоваться той же формулой для площади куба. В ней опять неизвестно ребро тела. Но зато дан объем. Из формулы для куба очень просто узнать «а». Оно будет равно кубическому корню из 343. Простой подсчет дает такое значение для ребра: а = 7 см.

Теперь осталось только сосчитать его квадрат и умножить на 6. а 2 = 7 2 = 49, отсюда площадь окажется равной 49 * 6 = 294 (см 2 ).

Задание третье. Условие. Дана правильная четырехугольная призма со стороной основания 20 дм. Необходимо найти ее боковое ребро. Известно, что площадь параллелепипеда равна 1760 дм 2 .

Решение. Начинать рассуждения нужно с формулы для площади всей поверхности тела. Только в ней нужно учесть, что ребра «а» и «в» равны. Это следует из утверждения о том, что призма правильная. Значит, в его основании лежит четырехугольник с равными сторонами. Отсюда а = в = 20 дм.

Учитывая это обстоятельство, формула площади упростится до такой:

В ней известно все, кроме искомой величины «с», которая как раз и является боковым ребром параллелепипеда. Чтобы его найти, нужно выполнить преобразования:

    разделить все неравенство на 2; потом перенести слагаемые так, чтобы слева оказалось слагаемое 2ас, а справа — деленная на 2 площадь и квадрат «а», причем последнее будет со знаком «-»; затем поделить равенство на 2а.

В итоге получится выражение:

С = (S/2 — а 2 ) / (2а)

После подстановки всех известных величин и выполнения действий получается, что боковое ребро равно 12 дм.

Ответ. Боковое ребро «с» равняется 12 дм.

Задание четвертое. Условие. Дан прямоугольный параллелепипед. Одна из его граней имеет площадь, равную 12 см 2 . Необходимо вычислить длину ребра, которое перпендикулярно этой грани. Дополнительное условие: объем тела равен 60 см 3 .

Решение. Пусть известна площадь той грани, которая расположена лицом к наблюдателю. Если принять за обозначение стандартные буквы для измерений параллелепипеда, то в основании ребра будут «а» и «в», вертикальное — «с». Исходя из этого, площадь известной грани определится как произведение «а» на «с».

Теперь нужно воспользоваться известным объемом. Его формула для прямоугольного параллелепипеда дает произведение всех трех величин: «а», «в» и «с». То есть известная площадь, умноженная на «в», дает объем. Отсюда получается, что искомое ребро можно вычислить из уравнения:

Элементарный расчет дает результат 5.

Ответ. Искомое ребро равно 5 см.

Задание пятое. Условие. Дан прямой параллелепипед. В его основании лежит параллелограмм со сторонами 6 и 8 см, острый угол между которыми равен 30º. Боковое ребро имеет длину 5 см. Требуется вычислить полную площадь параллелепипеда.

Решение. Это тот случай, когда нужно узнать площади всех граней по отдельности. Или, точнее, трех пар: основание и две боковые.

Поскольку в основании расположен параллелограмм, то его площадь вычисляется как произведение стороны на высоту к ней. Сторона известна, а высота — нет. Ее нужно сосчитать. Для этого потребуется значение острого угла. Высота образует в параллелограмме прямоугольный треугольник. В нем катет равен произведению синуса острого угла, который ему противолежит, на гипотенузу.

Пусть известная сторона параллелограмма — это «а». Тогда высота будет записана как в * sin 30º. Таким образом, площадь основания равна а * в * sin 30º.

С боковыми гранями все проще. Они — прямоугольники. Поэтому их площади — это произведение одной стороны на другую. Первая — а * с, вторая — в * с.

Осталось объединить все в одну формулу и сосчитать:

S = 2 * (а * в * sin 30º + а * с + в * с )

После подстановки всех величин получается, что искомая площадь равна 188 см 2 .

площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда

poiskvstavropole.ru

Как найти площадь основания параллелепипеда

Как найти площадь поверхности параллелепипеда

Как найти площадь основания параллелепипеда

Призма, у которой все стороны являются параллелограммами, и есть параллелепипед. Коробка, холодильник, здания, аквариум, кусочек сахара-рафинада – вот немногие примеры параллелепипеда в нашей повседневной жизни.

1

Разновидность, свойства параллелепипеда

Различают прямой и наклонный параллелепипед.

Прямой – это тот, ребра которого перпендикулярны основанию плоскости. Если основанием является прямоугольник, тогда фигура называется прямоугольным параллелепипедом. Если основанием и боковыми гранями является квадрат – куб.

Наклонный параллелепипед имеет наклон боковых граней к основанию под углом, отличным от 90 градусов.

Свойства параллелепипеда:

  • Противоположные грани равны и параллельны.
  • Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов 3-х его измерений, т.е. D^2=a^2+b^2+c^2.
  • Все диагонали пересекаются в одной точке, делящей их пополам.
  • Параллелепипед симметричен по отношению к середине его диагонали.

2

Площадь поверхности параллелепипеда

Как известно, существует несколько разновидностей параллелепипеда, поэтому и формулы для нахождения площади полной поверхности будут различаться.

Прямоугольный параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда основания и боковые грани – прямоугольники.

В данном случае используется формула S(п)=2(a*b+b*c+a*c).

Куб является частным случаем параллелепипеда. У него все стороны равны. Воспользовавшись формулой выше, получаем S(п)=2(a*a+a*a+a*a). В результате преобразования можно получить сокращенную версию формулы для нахождения площади полной поверхности куба S(п)=6*a^2.

Прямой параллелепипед

В то время, когда у прямоугольного параллелепипеда основанием является прямоугольник, прямой может иметь там любой параллелограмм, будь то квадрат или ромб. Именно поэтому формула для нахождения площади полной поверхности такой фигуры будет иной: S(п)=S(б)+2S(о), где S(о) – площадь основания, S(б) – площадь боковой поверхности.

Площадь основания S(о) будет зависеть от того, какая фигура лежит в основании.

В свою очередь, площадь боковой поверхности рассчитывается, как S(б)=P(о)*h, где P(о) — периметр основания, h – высота.

3

Как найти площадь поверхности параллелепипеда — пример

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Меньшая его диагональ равна 5 см, большая диагональ – 9 см, периметр равен 20 см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, если его высота равна 6 см.

Для решения задачи понадобится формула S(п)=S(б)+2S(о).

В основании параллелепипеда лежит ромб, следовательно, его площадь необходимо найти.

S(б)=P(о)*h=20*6=120 см^2

S(о)=(d1+d2)/2=(5+9)/2=7см^2

Подставив данные в формулу, получаем S(п)=120+2*7=134 см^2.

Человека окружает множество вещей-параллелепипедов. Системный блок компьютера, кирпич, шкаф, различные архитектурные сооружения. Даже не замечая, параллелепипед занял значимое место в современном мире.

Источник: http://SovetClub.ru/kak-najti-ploshhad-poverhnosti-parallelepipeda

Площадь параллелепипеда. Формулы и задачи

Площадь параллелепипеда. Формулы и задачи

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

, где a, b и c – это измерения геометрического тела.

Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/ploshhad-parallelepipeda.html

Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.

Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма, у которой все грани являются параллелограммами.

  1. Грань — одна из поверхностей пространственного тела.
  2. Параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
  3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
  4. Прямоугольный параллелепипед — пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
  5. Прямоугольник — четырёхугольник у которого все углы прямые.
  6. Куб — пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
  7. Квадрат — прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
  8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

  1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
  2. Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
  3. Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур.

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь.

  • S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S.

  • S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения.

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

  • S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант — стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

  • S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Площадь поверхности параллелепипеда

Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой — только боковых граней.

Площадь поверхности куба

Здесь все крайне просто — грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6.

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Здесь все так же довольно легко — нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:

S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.

Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.

Снова рассмотрим пример. Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?

Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.

Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.

Поверхность параллелепипеда

Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:

  • S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
  • S = 2*(a*h2 + b*h3 + c*h4), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h2, h3, h4 опущенные на них высоты.
  • S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.

Снова приведём пример:

  • a = 15, b = 25, c = 25, h2 = 10, h3 = 20, h4 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
  • S = 2*(a*h2 + b*h3 + c*h4) = 2*(15*10 + 25*20 + 25*15) = 2*(150 + 500 + 375) = 2*1025 = 2 050 миллиметров квадратных.

В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Видео

Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/polnaya-ploshhad-poverhnosti-pryamougolnogo-parallelepipeda

Площадь поверхности параллелепипеда как найти?

Параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм. Противоположные стороны параллелепипеда равны. Соответственно, у них будут и равные площади. Всего у параллелепипеда 6 граней, значит:

Sобщ = 2(S1+S2+S3)

Идем дальше. Примем, что ребра параллелограмма равны a, b и с. Где a, b — стороны основания (образуют S1), а с — высота параллелограмма. b и с образуют S2, а c и a образуют S3.

Далее: существует несколько различных случаев:

1) Если все шесть граней параллелепипеда являются прямоугольниками — то такой параллелепипед называется прямоугольным. И его площадь высчитывается по формуле:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(ab + bс + aс)

2) Если четыре из шести граней параллелограмма являются прямоугольниками, то такой параллелепипед называется прямым. Его площадь считается не только через длину его ребер, но и через величину непрямого угла между сторонами параллелограмма, не являющегося прямоугольником:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(absinX + сb + aс)

3) Куб — тоже частный случай параллелограмма. Это прямоугольный параллелограмм, все ребра которого равны. Соответственно, будут равны и все стороны. Площадь высчитывать легче всего:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(a^a+а^2+a^2)=6a^2, где а — ребро куба.

Общая формула площади поверхности параллелограмма в полном варианте применяется в тех случаях, когда он не является прямоугольным. Ребра такой призмы расположены не под прямым углом друг к другу, а значит синус этих углов не равен единице, как в предыдущих случаях, когда мы его просто не указывали.

Если допустить, что углы между ребрами параллелограмма равны:

  • угол между а и b = X
  • угол между а и c = Y
  • угол между c и b = Z

Тогда:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(absinX + сbsinZ + aсsinY)

Далее можно упомянуть еще один вид параллелограммов: те, у которых лишь две стороны являются прямоугольниками. Допустим, что S1 — это площадь прямоугольника в основании. Тогда:

Sобщ = 2(S1+S2+S3) = 2(absinX + сbsinZ + aсsinY) = 2(ab + сbsinZ + aсsinY), т.к. Х=90 градусов и sinX=1.

Вот как-то так)

Источник: http://www.bolshoyvopros.ru/questions/633174-ploschad-poverhnosti-parallelepipeda-kak-najti.html

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда? Ответы репетиторов

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипида равно удвоенной сумме площадей трех взаимноперпендикулярных граней.

1

S=2(ab+bc+ac), где a,b,c — длина, ширина и высота параллелепипеда

1

S=2x(ab+bc+ac)

Прощадь поверхности прямоугольного параллепипеда равна удвоенной сумме площади основания прямоугольного параллелепипеда и произведений сторон основания на высоту. Т.е. S = 2*(ab+ac+bc), где а и b — стороны основания, c — высота, S — площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Формула расчета площади S = 2(ab + bc + ac), где a, b и c – длины ребер.

Площадь поверхности равна сумме площадей всех граней параллелепипеда

Найти площадь трёх боковых поверхностей и все и их сложить и умножить на 2, так как поверхностей всего 6.

S = 2(ab + bc + ac)

Площади двух оснований:длина*ширина+ две площади, равных высота*ширина+ две площади,равных высота*длина

удвоенная сумме площадей трех граней этого параллелепипеда

Найти удвоенную сумму площадей трёх граней этого параллелепипеда

Сложить площади всех граней.

S=2(ab+bc+ac)

S = 2(ab + bc + ac)

Равна удвоенной сумме площадей трех граней

Чтобы найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, нужно найти площадь каждой грани, а затем эти площади сложить.

2*длина*ширина+2*высота*длина+2*высота*ширина

Необходимо сложить площади всех составляющих поверхности прямоугольного параллелепипеда

S=2(ab+bc+ac), где a,b и c — длины ребер.

Сумма двух площадей основания и произведения периметра на высоту

Источник: https://onlinerepetitor.net/article/kak-nayti-ploshchad-poverhnosti-pryamougolnogo-parallelepipeda

Высота параллелепипеда. Формула. Как найти высоту параллелепипеда?

Высота параллелепипеда. Формула. Как найти высоту параллелепипеда?

  • Параллелепипед — это многогранник с шестью сторонами. А высота параллелепипеда — это перпендикуляр от вершины параллелепипеда до его основания. Высота параллелепипеда рассчитывается по фомуле H=V/S, где H — высота, V — объем, S — площадь основания.
  • Параллепипедом называется призма, основннием которой является параллелограмм.Парралепипед-это шесть граней , и все они-параллелограммы.Парралепипед,четыре боковых граней которого прямоугольники-называется прямым.Прямой параллепипед,у которого все шесть граней прямоугольники -прямоугольный. Объем- площадь основания,умноженная на высоту- V=SH ,ОТСЮДА ВЫСОТА H=V/S. 7 класс,по моему.
  • Высота параллелепипеда — это есть расстояние между плоскостями его 2-х оснований ( ABCD и A1B1C1D1 ). На рисунке эта высота показана отрезком C1H . В геометрии различают 2 вида параллелепипедов:

    Наклонный :

Прямой :

Найти высоту параллелепипеда можно по формуле,

если знать его площадь основания S и его обьем V :

Н = v / s

Также :

  • Параллелепипеды бывают прямыми или же наклонными. Для того, чтобы найти высоту наклонного параллелепипеда нужно разделить его объм на площадь основания.

    Формула для нахождения высоты параллелепипеда выглядит следующим образом: h = V/S, где собственно V — объм, а S — площадь основания нашей фигуры.

    Высота прямого параллелепипеда находится ещ легче, ведь она равна длине любой боковой грани перпендикулярной основанию. Это легко доказать используя туже самую форуму h = V/S, которую мы использовали ранее. Мы знаем, что для прямого параллелепипеда V=a*b*c, а S=a*b. Следовательно h=a*b*c/a*b=c. Отсюда: h=c.

  • Наклонный параллелепипед параллелепипед, боковые грани которого расположены, относительно оснований, под углом, который считается непрямым.

    Прямой параллелепипед — параллелепипед, у которого ребро находится перпендикулярно плоскости основания.

    Высота параллелепипеда определяется по формуле:

  • Источник: http://info-4all.ru/obrazovanie/visota-parallelepipeda-formula-kak-najti-visotu-parallelepipeda/

    Призма. Параллелепипед

    Призма. Параллелепипед

    Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани). Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.

    Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 1). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.

    Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

    Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

    Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.

    Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т.е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).

    Рис. 1

    Для произвольной призмы верны формулы:

    (1)

    где l – длина бокового ребра;

    H – высота;

    P – периметр перпендикулярного сечения;

    Q – Площадь перпендикулярного сечения;

    Sбок – площадь боковой поверхности;

    Sполн – площадь полной поверхности;

    Sосн – площадь оснований;

    V – объем призмы.

    Для прямой призмы верны формулы:

    где p – периметр основания;

    l – длина бокового ребра;

    H – высота.

    Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 2).

    Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным.

    Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

    Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.

    Теоремы.

    1. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

    2. В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:

    3.Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

    Рис. 2

    Для произвольного параллелепипеда верны формулы:

    где l – длина бокового ребра;

    H – высота;

    P – периметр перпендикулярного сечения;

    Q – Площадь перпендикулярного сечения;

    Sбок – площадь боковой поверхности;

    Sполн – площадь полной поверхности;

    Sосн – площадь оснований;

    V – объем призмы.

    Для прямого параллелепипеда верны формулы:

    (2)

    где p – периметр основания;

    l – длина бокового ребра;

    H – высота прямого параллелепипеда.

    Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:

    (3)

    где p – периметр основания;

    H – высота;

    d – диагональ;

    a,b,c – измерения параллелепипеда.

    Для куба верны формулы:

    где a – длина ребра;

    d – диагональ куба.

    Пример 1.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 33 дм, а его измерения относятся, как 2 : 6 : 9. Найти измерения параллелепипеда.

    Решение. Для нахождения измерений параллелепипеда воспользуемся формулой (3), т.е. тем фактом, что квадрат гипотенузы прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Обозначим через k коэффициент пропорциональности. Тогда измерения параллелепипеда будут равны 2k, 6k и 9k. Запишем формулу (3) для данных задачи:

    Решая это уравнение относительно k, получим:

    Значит, измерения параллелепипеда равны 6 дм, 18 дм и 27 дм.

    Ответ: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

    Пример 2. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 8 см, если боковое ребро равно стороне основания и наклонено под углом 60º к основанию.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 3).

    Для того, чтобы найти объем наклонной призмы необходимо знать площадь ее основания и высоту. Площадь основания данной призмы – это площадь равностороннего треугольника со стороной 8 см. Вычислим ее:

    Высотой призмы является расстояние между ее основаниями. Из вершины А1 верхнего основания опустим перпендикуляр на плоскость нижнего основания А1D. Его длина и будет высотой призмы. Рассмотрим DА1АD:так как это угол наклона бокового ребра А1А к плоскости основания, А1А = 8 см. Из этого треугольника находим А1D:

    Теперь вычисляем объем по формуле (1):

    Ответ: 192 см3.

    Пример 3. Боковое ребро правильной шестиугольной призмы равно 14 см. Площадь наибольшего диагонального сечения равна 168 см2. Найти площадь полной поверхности призмы.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 4)

    Рис. 4

    Наибольшее диагональное сечение – прямоугольник AA1DD1, так как диагональ AD правильного шестиугольника ABCDEF является наибольшей. Для того, чтобы вычислить площадь боковой поверхности призмы, необходимо знать сторону основания и длину бокового ребра.

    Зная площадь диагонального сечения (прямоугольника), найдем диагональ основания.

    Поскольку, то

    Так както АВ = 6 см.

    Тогда периметр основания равен:

    Найдем площадь боковой поверхности призмы:

    Площадь правильного шестиугольника со стороной 6 см равна:

    Находим площадь полной поверхности призмы:

    Ответ:

    Пример 4. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Площади диагональных сечений 300 см2 и 875 см2. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 5).

    Обозначим сторону ромба через а, диагонали ромба d1 и d2, высоту параллелепипеда h.

    Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда необходимо периметр основания умножить на высоту:(формула (2)).

    Периметр основания р = АВ + ВС + CD + DA = 4AB = 4a, так как ABCD – ромб. Н = АА1 = h. Т.о.Необходимо найти а и h.

    Рассмотрим диагональные сечения. АА1СС1 – прямоугольник, одна сторона которого диагональ ромба АС = d1, вторая – боковое ребро АА1 = h, тогда

    Аналогично для сечения ВВ1DD1 получим:

    Используя свойство параллелограмма такое, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, получим равенствоПолучим следующее:

    Из первых двух равенств выразими подставим в третье. Получим:

    и далее

    Тогда

    Ответ: 1850 см2.

    Пример 5. На ребрах СС1, AD и АВ куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р, М, R – середина этих ребер. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р, М, R. Считая ребро куба равным 24 см, найти площадь полученного сечения.

    Решение. Сделаем рисунок (рис. 6).

    Построение. Прямая MR – след секущей плоскости на плоскости нижнего основания.Получается искомое сечение куба PNRMK. Для вычисления его площади воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость.

    Многоугольник PNRMK, его ортогональная проекция – СВRMD, определим, где угол между плоскостями этих многоугольников. Ребром двугранного угла является прямая MR. Из точки Р опустим перпендикуляр на прямую MR:точка Е – середина отрезка MR.

    – угол между плоскостью многоугольника и его проекции. Теорему запишем в виде:

    Тогда

    ВычислимТак как ABCD – квадрат, а– треугольник равнобедренныйто

    Вычислимиз

    Площадь сечения:

    Ответ:

    Источник: https://megaobuchalka.ru/5/15979.html

    Как найти объём параллелепипеда

    Как найти объём параллелепипеда

    Как найти объём параллелепипеда?

    1. Заполните, пожалуйста размеры рёбер параллелепипеда 2. Для вычисления необходимо знать ширину, высоту и длину 3. Онлайн калькулятор параллелепипеда вычислит объём, моментально решит задачу и напишет решение которое вам останется только переписать!

    Формула используемая в нашем калькуляторе найдёт объём прямоугольного параллелепипеда. А если ваш параллелепипед имеет косые грани, вместо длины соответствующего косого ребра — необходимо ввести значение высоты этой части фигуры.

    L * H * N = V

    Чтобы его найти, необходимо знать размеры рёбер: высоту, ширину и длину. По формуле, размеры граней параллелепипеда необходимо перемножить в произвольном порядке.

    Объём можно представить в литрах или куб.см., кубических миллиметрах.

    Формула площади поверхности параллелепипеда

    S1*2 + S2*2 + S3*2 = S

    По формуле площади параллелепипеда необходимо найти площади всех сторон параллелепипеда, а затем их сложить. Противоположные стороны, грани, и рёбра параллелепипеда равны между собой, по этому при вычислении площадей можно применять умножение на два.

    Основание параллелепипеда

    В некоторых случаях бывает известна площадь основания параллелепипеда, тогда для того, что бы найти объём достаточно площадь основания умножить на высоту. ! ВАЖНО ! — это верно, только для прямоугольного параллелепипеда.

    Как найти объём параллелепипеда?

    Проще всего найти объём введя три известных значения в графы онлайн калькулятора объёма! Затем — нажми на кнопу — получишь результат )!

    Калькулятор вычислит объём параллелепипеда abcda1b1c1d1 и распишет решение подробно и с комментариями. Вам останется только переписать строчное решение параллелепипеда себе в тетрадь. Подробное текстовое решение с разъяснениями позволит найти понимание методики решения таких задач и при необходимости снять вопросы, дав развёрнутый и грамотный ответ.

    Расчёты объёма и площадь параллелограмма — это элементарная основа для многих технических и бытовых расчётов! Например для расчёта ремонта в комнате, вычисления данных для отопления помещений или их кондиционирования.

    Параллелограмм это объёмная геометрическая фигура, имеющая шесть сторон, каждая из сторон при этом параллелограмм. Стороны параллелограмма обычно называются гранями. Если все грани параллелепипеда имеют форму прямоугольника — то это уже прямоугольный параллелограмм! Обозначается эта фигура буквами abcda1b1c1d1.

    Источник: http://allcalculators.ru/najti-obyom-parallelepipeda-formula.php

    __________________________________________

    novpedkolledg2.ru

    Площадь боковой поверхности параллелепипеда прямого

    начертите прямоугольник , длина которого равна 6см а ширина в 3 раза меньше. Чему равен периметр и площадь прямоугольника. ????????????

    Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

      Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

    Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

    S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

    S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

    S = 2*9*(4+9) = 234 см²

      площадь поверхности параллелепипеда

    Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

    Площадь боковой поверхности параллелепипеда прямого

    Совет 1: Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда

      Как найти площадь боковой поверхности параллелепипеда Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда Как найти площадь параллелепипеда

    Если же параллелограмм представляет из себя прямоугольник, его площадь находится так:

    S = a*b, где a и b — стороны данного прямоугольника. Таким образом, площадь Боковой поверхности параллелепипеда находится так:S = s1+s2+s3+s4, где S1, S2, S3 и S4 — площади, соответственно, четырех параллелограммов, образующих боковую поверхность параллелепипеда.

    S = 24*8 = 192 см²Пример 2. Пусть в прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 4 см и 9 см, а длина его бокового ребра 9 см. Зная эти данные, можно вычислить и боковую поверхность:

    S = 2*9*(4+9) = 234 см²

      площадь поверхности параллелепипеда

    Совет 2: Как найти боковую поверхность параллелепипеда

    Площадь боковой поверхности параллелепипеда прямого

    Чему равна площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, если его каждое ребро равно 2см

    Ответы и объяснения

      Участник Знаний

    Если каждое ребро равно 2 см, то этот параллелепипед — куб. У куба 4 равных грани, которые образуют боковую поверхность. Площадь одной грани 2·2=4см², значит площадь боковой равна 4·4=16см²

    площадь боковой поверхности параллелепипеда прямого

    poiskvstavropole.ru