Как вписать равносторонний треугольник в окружность. Как вписать правильный треугольник в окружность


Построение правильных многоугольников - Техническое черчение

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

www.nacherchy.ru

Как в окружность вписать правильный треугольник

Построение правильных многоугольников — Техническое черчение

Как в окружность вписать правильный треугольник

Источник: http://www.nacherchy.ru/postroenie_pravilnich_mnogougolnikov.html

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

Например, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

можем найти площадь через r:

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

Источник: http://www.treugolniki.ru/okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnik/

Как вписать окружность в треугольник?

Для начала разберемся с том, какую окружность можно назвать вписанной в треугольник. Это вам не просто взять и нарисовать в треугольнике фигуру. Ту окружность можно назвать вписанной в треугольник, у которой есть три точки на дуге, соприкасающихся с тремя гранями треугольника.

Из этого определения следует, что в каждый треугольник можно вписать лишь одну единственную возможную окружность, центр которой находится на пересечении трех биссектрис внутренних углов данного треугольника.

Теперь подробнее о том, как вписать окружность в треугольник:

  1. Находим вершины треугольника, как помним, их три.
  2. Из каждой вершины необходимо с помощью циркуля провести окружности, можно произвольного радиуса.
  3. Теперь найдите точку пересечения двух окружностей (эта точка должна находиться на стороне треугольника, которая противоположна делимому углу) и соединяем с делимым углом.
  4. Такую операцию необходимо провести с каждым из трех углов. У вас получатся в результате три пересекающиеся биссектрисы.
  5. Центр окружности вписанной в треугольник будет находиться в точки пересечения его биссектрис.
  6.  Далее при помощи циркуля рисуем окружность с центром в полученной точке.

Как вписать треугольник в окружность

Вписанным в окружность треугольником называют  треугольник, у которого три вершины соприкасаются с окружностью. Тогда окружность называют описанной вокруг треугольника.

Из этого следует, что радиус этой окружности — это отрезок, соединяющий центр описанной окружности и вершину треугольника. Поэтому для того, чтобы вписать треугольник в окружность необходимо обозначить три точки на окружности и соединить их отрезками.

Источник: https://elhow.ru/ucheba/geometrija/planimetrija/kak-vpisat-okruzhnost-v-treugolnik

Как построить окружность, вписанную в треугольник

Как построить окружность, вписанную в треугольник

окружность называется вписанной в треугольник, если три точки на ее дуге касаются трех граней треугольника. В геометрии имеется большое количество задач, которые решаются именно благодаря вписыванию окружности в треугольник. Поэтому знание о том, как вписать окружность в треугольник являются обязательными.

Подробнее: poluchisovet.ru

Коротко о главном Начальный уровень Равносторонний треугольник. Начальный уровень. Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику? Прежде чем говорить о свойствах напомним, что у нас ты можешь сдать пробный ЕГЭ в онлайне и получить результаты немедленно.

В этой статье Вы сможете найти свойства вписанной в треугольник окружности, а также их доказательства.

Вписанная в треугольник окружность — это такая окружность, которая находится внутри треугольника и при этом касается всех его сторон (то есть все стороны треугольника являются касательными к окружности).

Стоит отметить, что в этом случае сам треугольник является описанным вокруг данной окружности.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она полностью размещается внутри этого многоугольника. Каждая сторона описанной фигуры имеет с окружностью общую точку. Вам понадобится-циркуль-карандаш-линейка-лист бумагиИнструкция 1Для… Как найти площадь вписанной окружности

Площадь окружности, вписанной в многоугольник, можно вычислить не только через параметры самой окружности, но через различные элементы описанной фигуры — стороны, высоту, диагонали, периметр. Инструкция 1Окружность называется вписанной в…

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Подробнее: megavkusno-saratov.ru

      Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).       Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

2 слайд Описание слайда: Окружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. A B C O 3 слайд

Описание слайда:A B C D F E M N O K r r r Как вписать в окружность треугольник В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Проведём биссектрисы треугольника: АK, ВM, СN. Построим перпендикуляры ОD, OE, OF, которые равны между собой, т.к. равны соответствующие треугольники. Получаем ОD= OE= OF=r.

Окружность можно вписать в любой треугольник, независимо от длины его сторон и величины углов. Алгоритм построения такой окружности очень прост и включает в себя всего два этапа. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как построить окружность, вписанную в треугольник» Как вписать треугольник в окружность Как построить описанную окружность? Как найти s треугольника

  Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой.

  Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°.

Для выполнения этого построения принимаем горизонтальныйдиаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4, строим стороны 1 — 6, 4 — 3, 4 — 5 и 7 — 2, после чего проводим стороны 5 — 6 и 3 — 2.

Разделим радиус OD пополам и точки пересечения М и N линии деления с окружностью соединим хордами с точкой Е, в результате чего получается равносторонний треугольник EMN . Делим пополам два угла равностороннего (правильного) треугольника, скажем,

Источник: http://www.chsvu.ru/kak-postroit-okruzhnost-vpisannuyu-v-treugolnik/

Формула площади и радиуса: свойства треугольника, вписанного в окружность

В современном машиностроении используется масса элементов и запчастей, которые имеют в своей структуре как внешние окружности, так и внутренние.

Самым ярким примером могут служить корпус подшипника, детали моторов, узлы ступицы и многое другое.

При их изготовлении применяются не только высокотехнологичные приспособления,Но и знания из геометрии, в частности информация об окружностях треугольника. Более детально с подобным знаниями познакомимся ниже.

Какая окружность вписана, а какая описана

Прежде всего вспомним, что окружностью называется бесконечное множество точек, удаленных на одинаковом расстоянии от центра.

Если внутри многоугольника допускается построить окружность, которая с каждой стороной будет иметь только одну общую точку пересечения, то она будет называться вписанной.

Описанной окружностью (не круг, это разные понятия) называется такое геометрическое место точек, при котором у построенной фигуры с заданным многоугольником общими точками будут только вершины многоугольника. Ознакомимся с этими двумя понятиями на более наглядном примере (см. рис 1.).

Рисунок 1. Вписанная и описанная окружности треугольника

На изображении построены две фигуры большого и малого диаметров, центры которых находятся G и I. Окружность большего значения называется описанной окр-тью Δ ABC, а малого – наоборот, вписанной в Δ ABC.

Для того чтобы описать вокруг треугольника окр-ть, требуется провести через середину каждой стороны перпендикулярную прямую (т.е. под углом 90°) – это точка пересечения, она играет ключевую роль. Именно она будет представлять собой центр описанной окружности.

Перед тем как найти окружность, ее центр в треугольнике, требуется построить для каждого угла биссектрису, после чего выделить точку пересечения прямых. Она в свою очередь будет центром вписанной окр-ти, а ее радиус при любых условиях будет перпендикулярен любой из сторон.

На вопрос:«Какое количество окружностей вписанных может быть для многоугольника с тремя углами?» ответим сразу, что в любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну. Потому что существует только одна точка пересечения всех биссектрис и одна точка пересечения перпендикуляров, исходящих из середин сторон.

Свойство окружности, которой принадлежат вершины треугольника

Описанная окружность, которая зависит от длин сторон при основании, имеет свои свойства. Укажем свойства описанной окружности:

  1. Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы, у острого – внутри самого треугольника, а для тупоугольного – за ее пределами.
  2. Диаметр любой описанной окр-сти равен половине отношения стороны и синуса угла, который принадлежит ей, в виде формулы можно представить следующим образом:
  3. Зная радиус описанной окружности и значения углов, можно найти значение площади, не прибегая к использованию длин сторон, по следующей формуле:

Для того чтобы более наглядно понять принцип описанной окружности, решим простую задачу. Допустим, что дан треугольник Δ ABC, стороны которого равны 10, 15 и 8,5 см. Радиус описанной окружности около треугольника (FB) составляет 7,9 см. Найти значение градусной меры каждого угла и через них площадь треугольника.

Рисунок 2. Поиск радиуса окружности через отношение сторон и синусов углов

Решение: опираясь на ранее указанную теорему синусов, найдем значение синуса каждого угла в отдельности. По условию известно, что сторона АВ равна 10 см. Вычислим значение С:

Используя значения таблицы Брадиса, узнаем, что градусная мера угла С равна 39°. Таким же методом найдем и остальные меры углов:

Откуда узнаем, что CAB = 33°, а ABC = 108°. Теперь, зная значения синусов каждого из углов и радиус, найдем площадь, подставляя найденные значения:

Ответ: площадь треугольника равна 40,31 см², а углы равны соответственно 33°, 108° и 39°.

Важно! Решая задачи подобного плана, будет нелишним всегда иметь таблицы Брадиса либо соответствующее приложение на смартфоне, так как вручную процесс может затянуться на длительное время. Также для большей экономии времени не требуется обязательно строить все три середины перпендикуляра либо три биссектрисы. Любая третья из них всегда будет пересекаться в точке пересечения первых двух. А для ортодоксального построения обычно третью дорисовывают. Может, это неправильно в вопросе алгоритма, но на ЕГЭ или других экзаменах это здорово экономит время.

Исчисление радиуса вписанной окружности

Все точки окружности одинаково удалены от ее центра на одинаковом расстоянии. Длину этого отрезка (от и до) называют радиусом. В зависимости от того, какую окр-ть мы имеем, различают два вида – внутренний и внешний. Каждый из них вычисляется по собственной формуле и имеет прямое отношение к вычислению таких параметров, как:

  • площадь;
  • градусная мера каждого угла;
  • длины сторон и периметр.

Рисунок 3. Расположение вписанной окружности внутри треугольника

Вычислить длину расстояния от центра до точки соприкосновения с любой из сторон можно такими способами: через стороны, высоты, боковые стороны и углы (для равнобокого треугольника).

Использование полупериметра

Полупериметром называется половина суммы длин всех сторон. Такой способ считается самым популярным и универсальным, потому как независимо от того, какой тип треугольника дан по условию, он подходит для всех. Порядок вычисления имеет следующий вид:

Если дан «правильный»

Одним из малых преимуществ «идеального» треугольника является то, что вписанная и описанная окружности имеют центр в одной точке. Это удобно при построении фигур.

Однако в 80% случаев ответ получается «некрасивым». Тут имеется ввиду, что очень редко радиус вписанной окр-ти будет целым натуральным числом, скорее наоборот.

Для упрощенного исчисления используется формула радиуса вписанной окружности в треугольник:

Если боковины одинаковой длины

Одним из подтипов задач на гос. экзаменах будет нахождение радиуса вписанной окружности треугольника, две стороны которого равны между собой, а третья нет. В таком случае рекомендуем использовать этот алгоритм, который даст ощутимую экономию времени на поиск диаметра вписанной окр-ти. Радиус вписанной окружности в треугольник с равными «боковыми» вычисляется по формуле:

Более наглядное применение указанных формул продемонстрируем на следующей задаче. Пускай имеем треугольник (Δ HJI), в который вписана окр-ть в точке K. Длина стороны HJ = 16 см, JI = 9,5 см и сторона HI равна 19 см (рисунок 4). Найти радиус вписанной окр-ти, зная стороны.

Рисунок 4. Поиск значения радиуса вписанной окружности

Решение: для нахождения радиуса вписанной окр-ти найдем полупериметр:

Отсюда, зная механизм вычисления, узнаем следующее значение. Для этого понадобятся длины каждой из сторон (дано по условию), а также половину периметра, получается:

Отсюда следует, что искомый радиус равен 3,63 см. Согласно условию, все стороны равны, тогда искомый радиус будет равен:

При условии, если многоугольник равнобокий (например, i = h = 10 см, j = 8 см), диаметр внутренней окр-ти с центром в точке K будет равен:

В условии задачи может даваться треугольник с углом 90°, в таком случае запоминать формулу нет необходимости. Гипотенуза треугольника будет равна диаметру. Более наглядно это выглядит так:

Важно! Если задана задача на поиск внутреннего радиуса, не рекомендуем проводить вычисления через значения синусов и косинусов углов, табличное значение которых точно не известно. В случае, если иначе узнать длину невозможно, не пытайтесь «вытащить» значение из-под корня. В 40% задач полученное значение будет трансцендентным (т.е. бесконечным), а комиссия может не засчитать ответ (даже если он будет правильным) из-за его неточности или неправильной формы подачи. Особое внимание уделите тому, как может видоизменяться формула радиуса описанной окружности треугольника в зависимости от предложенных данных. Такие «заготовки» позволяют заранее «видеть» сценарий решения задачи и выбрать наиболее экономное решение.

Радиус внутренней окружности и площадь

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, вписанного в окружность, используют лишь радиус и длины сторон многоугольника:

Если в условии задачи напрямую не дано значение радиуса, а только площадь, то указанная формула площади трансформируется в следующую:

Рассмотрим действие последней формулы на более конкретном примере. Предположим, что дан треугольник, в который вписана окр-ть. Площадь окр-ти составляет 4π, а стороны равны соответственно 4, 5 и 6 см. Вычислим площадь заданного многоугольника при помощи вычисления полупериметра.

Используя вышеуказанный алгоритм, вычислим площадь треугольника через радиус вписанной окружности:

В силу того, что в любой треугольник можно вписать окружность, число вариаций нахождения площади значительно увеличивается. Т.е. поиск площади треугольника, включает в себя обязательное знание длины каждой стороны, а также значение радиуса.

Треугольник, вписанный в окружность геометрия 7 класс

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Вывод

Из указанных формул можно убедиться, что сложность любой задачи с использованием вписанной и описанной окружностей заключается только в дополнительных действия по поиску требуемых значений.

Задачи подобного типа требуют только досконально понимания сути формул, а также рациональности их применения. Из практики решения отметим, что в будущем центр описанной окружности будет фигурировать и в дальнейших темах геометрии, поэтому запускать ее не следует.

В противном случае решение может затянуться с использованием лишних ходов и логических выводов.

Источник: https://uchim.guru/matematika/svojstva-treugolnika-vpisannogo-v-okruzhnost.html

Как вписать равносторонний треугольник в окружность?

Равносторонний треугольник вписывается в окружность очень легко.

Вписать в окружность равносторонний треугольник, впрочем, как и любую другую правильную геометрическую фигуру достаточно легко.

Для того, чтобы вписать в окружность равносторонний треугольник, нам понадобится циркуль, линейка и карандаш.

Сначала необходимо при помощи циркуля начертить окружность нужного нам диаметра. Когда окружность будет вычерчена, через центр окружности, при помощи линейки и карандаша, прочертим линию диаметра нашей окружности.

После этого, не изменяя раствора циркуля, из точки пересечения одного конца диаметра с окружностью, сделаем две засечки по обе стороны от диаметра. Это и будут две вершины нашего треугольника. Третьей вершиной будет точка пересечения второго конца диаметра.

Соединив при помощи линейки и карандаша эти три точки, мы получим вписаный в окружность правильный треугольник.

Если ставится обратная задача, то есть требуется готовый треугольник вписать в окружность, то надо поступить следующим образом.

Из двух вершин нашего треугольника опустим высоты на противолежащие стороны, то есть опустим на них перпендикуляры. точка пересечения двух высот и будет центром окружности, описывающей треугольник. Теперь установим ножку циркуля в эту точку, а вторую ножку циркуля установим на любую вершину треугольника и этим размером проведем окружность. Она опишет наш треугольник.

Видите, все очень просто!

Источник: http://qalib.ru/a/kak-vpisat-ravnostoronniy-treugolnik-v-okruzhnost

__________________________________________

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°.

Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2.

Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1.

Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5.

Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей.

Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника.

Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника.

Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

novpedkolledg2.ru

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyj-treugolnikНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

    \[AK \cap BF = O,\]

    \[AK \cap CD = O.\]

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

    \[OF = \frac{1}{3}BF,\]

    \[r = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

    \[r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

    \[a = \frac{{6r}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{6r \cdot \sqrt 3 }}{{\sqrt {3 \cdot } \sqrt 3 }} = \frac{{6r \cdot \sqrt 3 }}{3} = 2r\sqrt 3 .\]

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

    \[S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4},\]

можем найти площадь через r:

    \[S = \frac{{{{(2r\sqrt 3 )}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{4{r^2} \cdot 3 \cdot \sqrt 3 }}{4} = 3\sqrt 3 {r^2}.\]

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

    \[S = 3\sqrt 3 {r^2}.\]

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

    \[AD = BD = BK = CK = CF = AF = \frac{a}{2}.\]

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

    \[OF = r,BO = R,\]

    \[\left. \begin{array}{l} OF = r,BO = R\\ OF = \frac{1}{3}BF,BO = \frac{2}{3}BF \end{array} \right\} \Rightarrow r = \frac{1}{2}R.\]

www.treugolniki.ru

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Определение и формулы окружности, вписанной в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем, только одну.

Если окружность вписана в правильный треугольник (в тот, у которого все стороны равны между собой), то ее радиус r вычисляется по формуле

    \[r=\frac{S}{p} ,\]

где S – площадь треугольника, а p – его полупериметр; или его можно выразить через сторону a следующим образом:

    \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6} \]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как в окружность вписать правильный треугольник

Согласно определению, если все вершины многоугольника принадлежат окружности, он называется «вписанным». Построить на бумаге такую фигуру несложно, особенно если все составляющие ее стороны имеют одинаковую длину. Для правильного треугольника такое построение может быть выполнено несколькими способами, а выбор наиболее удобного зависит от имеющихся инструментов.

Вам понадобится

  • Бумага, карандаш, циркуль, линейка, калькулятор, транспортир.

Инструкция

  • Если у вас есть возможность использовать при построении транспортир, начните с выбора произвольной точки на окружности, которая должна стать одной из вершин правильного треугольника. Обозначьте ее, например, буквой А.
  • Начертите вспомогательный отрезок, соединив точку А с центром окружности. К этому отрезку приложите транспортир таким образом, чтобы нулевое деление совпало с центром круга, и поставьте вспомогательную точку у отметки 120°. Через эту точку проведите еще один вспомогательный отрезок с началом в центре круга и окончанием на пересечении с окружностью. Точку пересечения обозначьте буквой В - это вторая вершина вписанного треугольника.
  • Повторите предыдущий шаг, но транспортир прикладывайте ко второму вспомогательному отрезку, а точку пересечения с окружностью обозначьте буквой С. Больше транспортир не понадобится.
  • Соедините точки А и В, В и С, С и А. На этом построение правильного треугольника вписанного в окружность будет завершено.
  • Если транспортира нет, но есть циркуль и калькулятор, то начните с вычисления длины стороны треугольника. Вы наверняка знаете, что ее можно выразить через радиус описанной окружности, умножив его на отношение тройки к квадратному корню из тройки, то есть примерно на 1,732050807568877. Округлите это число до нужной степени точности и умножьте на радиус круга.
  • Отметьте произвольную точку на окружности и обозначьте ее буквой А - это первая вершина правильного треугольника.
  • Отложите на циркуле найденную на пятом шаге длину стороны треугольника и начертите вспомогательный круг с центром в точке А. Точки пересечения двух окружностей обозначьте буквами В и С - это две другие вершины вписанного в круг правильного треугольника.
  • Соедините точки А и В, В и С, С и А и построение будет завершено.

completerepair.ru

Как вписать равносторонний треугольник в окружность

Задачи на геометрические построения весьма хорошо развивают пространственное и логическое мышление и потому являются одной из основных частей школьной программы обучения. Как и в любой предметной области, существуют типовые и нетиповые задачи. К типовым задачам можно отнести, например, построение равностороннего треугольника. В процессе построения треугольник оказывается вписанным в окружность. Но как быть, если нужно вписать равносторонний треугольник в окружность, которая уже построена?

Вам понадобится

  • - линейка;
  • - карандаш;
  • - циркуль.

Инструкция

  • Постройте хорду заданной окружности. При помощи линейки начертите отрезок так, чтобы он пересекал окружность в двух точках. Пусть это будут точки A и B. Желательно, чтобы эти точки были расположены на достаточном удалении друг от друга.
  • Постройте перпендикуляр, пересекающий отрезок AB и делящий его точкой пересечения на две равные части. Установите между ножками циркуля расстояние, несколько меньшее длины отрезка AB, но заведомо большее длины половины этого отрезка. Установите иглу циркуля в точку A. Вычертите окружность. Установите иглу циркуля в точку B. Вычертите еще одну окружность. Проведите отрезок через точки пересечения вычерченных окружностей так, чтобы он пересек отрезок AB в одной точке (пусть это будет точка C) и первоначальную окружность в двух точках (пусть это будут точки D и E).
  • Постройте перпендикуляр, пересекающий отрезок DE и делящий его точкой пересечения на две равные части способом, аналогичным описанному во втором шаге. Пусть построенный отрезок пересекает окружность в точках F и G, а отрезок DE в точке O. Точка O будет являться центром окружности.
  • Установите расстояние между ножками циркуля равным радиусу окружности. Поместите иглу циркуля в точку D. Поместите конец другой ножки циркуля в точку O.
  • Найдите точки двух углов равностороннего треугольника, вписанного в окружность. Не изменяя положения ножки циркуля с иглой (в точке D) и расстояния между ножками циркуля, установленные на предыдущем шаге, начертите окружность. Эта окружность пересечет первоначальную окружность в двух точках. Пусть это будут точки H и I.
  • Впишите равносторонний треугольник в окружность. Попарно соедините отрезками точки E, H и I. Треугольник со сторонами EH, HI и EI будет равносторонним и вписанным в заданную изначально окружность.

completerepair.ru

Как построить окружность, вписанную в треугольник по точкам касания? | Проза жизни

Вначале рассмотрим классический алгоритм построения, осуществляемый в два этапа. Первый шаг построения — проведение биссектрис углов треугольника (достаточно задействовать всего два угла) для определения центра окружности. На втором этапе определяется радиус вписанной окружности. Из точки пересечения биссектрис проводится перпендикуляр к одной из сторон треугольника. Длина полученного отрезка равна искомому радиусу. Раствором циркуля равным этой величине строится вписанная окружность. Не сложно подсчитать минимальное количество проведенных линий в данном построении. Их всего 12, по 4 на построение двух биссектрис, 3 — на перпендикуляр и одна собственно на проведение самой окружности.

Второй вариант построения базируется на окружности, проведенной из инцентра треугольника через вершину одного из его углов, позволяющей определить местоположение точек касания вписанной окружности. Пусть в треугольник АВС (см. рис. 1) вписана окружность с центром О на пересечении биссектрис углов, А и С. Соединим точки ее касания K, T и L сторон треугольника с инцентром. Согласно свойству касательной проведений к окружности, отрезки ОК, ОТ и ОL равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам треугольника.

Проведем дополнительно окружность из точки О радиусом ОВ т. е. проходящую через вершину наибольшего угла треугольника. Она отсекает три равные хорды А1С1, А2 В и ВС2 на сторонах треугольника в виду концентричности вписанной окружности. Дополнительную окружность можно проводить через любую вершину треугольника. В этом случае придется продолжить его стороны (сторону), так как будем иметь дело с окружностью большего диаметра.

Соединим инцентр треугольника с концами хорды А1С1. Прямоугольные треугольники А1ОТ и С1ОТ равны согласно тому, что гипотенузы А1О и С1О радиусы дополнительной окружности, а катет ОТ — общий. Следовательно точка Т середина, а ТО серединный перпендикуляр хорды А1С1. Аналогичным образом доказывается: ОК и ОL серединные перпендикуляры к двум другим хордам. Таким образом, середины хорд являются точками касания вписанной в треугольник окружности.

В треугольниках АОВ и АОС1 стороны ОВ и ОС1 радиусы дополнительной окружности, АО общая сторона и биссектриса угла ВАС. Тогда согласно равенству этих треугольников, отрезок АС†равен стороне АВ. В свою очередь отрезок А1С равен стороне ВС, ввиду сходного равенства треугольников А1ОС и ВОС.

Следствием вышеизложенного является возможность построения крайних точек хорды на стороне треугольника путем засечек дугами радиусами равными боковым сторонам из вершин прилежащих углов. Затем из вершины противолежащего стороне угла на одной из боковых стон откладывается длина второй хорды. Точка пересечения серединных перпендикуляров к полученным хордам — центр вписанной окружности.

Построение в произвольно заданный треугольник АВС вписанной окружности изображено на рис. 2. На стороне АС (наибольшей, как на наиболее удобной) из вершины, А дугой радиусом АВ делаем первую засечку в точке С1, а из вершины С дугой радиусом СВ — вторую в точке А1. К полученному отрезку А1С1 восстанавливаем серединный перпендикуляр. Раствором циркуля равным А1С1 из вершины В проводим дугу пересекающую например, сторону ВА в точке А2. Тем же раствором циркуля из точки А2 через вершину В опишем вторую дугу. Соединяем точки пересечения дуг прямой, получаем второй серединный перпендикуляр. Из точки пересечения перпендикуляров радиусом равным ОТ опишем искомую вписанную в треугольник окружность.

Определим количество линий примененных в данном построении. Пять на восстановление первого серединного перпендикуляра, три линии для второго и одну на проведение вписанной окружности. Всего девять. Если сравнивать два метода построения вписанной окружности по этому показателю — преимущество за последним.

Заключительный вывод: предлагаемое построение следует рассматривать в обучении наряду с общеизвестным методом.

shkolazhizni.ru